Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета
Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).
Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.
При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.
Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .
Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .
По формулам корней квадратного уравнения:
1. Найдём сумму корней:
Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:
= .
Шаг 1 . Приводим дроби к общему знаменателю, получается:
= = .
Шаг 2 . У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:
Сокращаем дробь на 2 и получаем:
Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.
2. Найдём произведение корней:
= = = = = .
Докажем это уравнение:
Шаг 1 . Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:
Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:
= .
Шаг 3 . Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:
= .
Шаг 4 . Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:
Шаг 5 . Сокращаем «4a» и получаем .
Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.
ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.
По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.
Если числа и такие:
И , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .
Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:
Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:
Шаг 3 . Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:
Или . Откуда и получается: или .
Пример 1
Задание
Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.
Решение
Шаг 1 . Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:
Получается:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .
Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
Ответ
7; 12; 25.
Пример 2
Задание
Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.
Решение
У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.
Ответ
И Пример 4
Задание
Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:
Решение
По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.
Сумма корней нового уравнения будет равна:
А произведение .
По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:
Ответ
Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:
Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.
А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.
Полезные источники:
Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру
В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
Например, для уравнения Зx 2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно
т. е. - 2. А для уравнения х 2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х 1 и х 2 квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 находятся по формулам
Где D = b 2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим
Теперь вычислим произведение корней х 1 и х 2 Имеем
Второе соотношение доказано:
Замечание.
Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х 1 и х 2 — корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. Тогда
Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
Доказательство. Имеем
Пример 1
. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх 2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх 2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх 2 - 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Воспользовавшись теоремой 2, получим
Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх 2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:
Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).
Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1
. Сократить дробь
Решение. Из уравнения 2х 2 + 5х + 2 = 0 находим х 1 = - 2,
Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х 1 = 6, х 2 = -2. Поэтому
х 2 - 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:
Пример 3
. Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x 2 +6; б)2x+-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х 2 . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у 2 + bу + 6.
Решив уравнение у 2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим
у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x 2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2)(х 2 + 3).
б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у 2 + у - 3. Решив уравнение
2у 2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далее, используя теорему 2, получим:
Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х 1 , х 2 таковы, что х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
1) х 2 - 11х + 24 = 0. Здесь x 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Нетрудно догадаться, что х 1 = 8, х 2 = 3.
2) х 2 + 11х + 30 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Нетрудно догадаться, что х 1 = -5, х 2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
3) х 2 + х - 12 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко догадаться, что х 1 = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х 1 = 1 — корень уравнения. Так как х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, то получаем, что х 2 = - .
5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х 1 = 283, х 2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0.
Имеем х 1 + х 2 = -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х 1 х 2 = q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х 2 -4х-32 = 0.
Формулировка и доказательство теоремы Виета для квадратных уравнений. Обратная теорема Виета. Теорема Виета для кубических уравнений и уравнений произвольного порядка.
СодержаниеСм. также: Корни квадратного уравнения
Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1)
.
Тогда сумма корней равна коэффициенту при ,
взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.
Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.
Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения :
;
;
.
Находим сумму корней:
.
Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда
.
Теорема доказана.
Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.
.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.
Теорема доказана.
Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2)
;
(3)
.
Рассмотрим квадратное уравнение
(1)
.
Нам нужно доказать, что если и ,
то и являются корнями уравнения (1).
Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4)
.
Подставим в (4) :
;
.
Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).
Теорема доказана.
Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5)
,
где ,
и есть некоторые числа. Причем .
Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ;
.
Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.
Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.
Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6)
,
где ,
,
,
есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7)
,
где ,
,
.
Пусть ,
,
есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда
.
Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.
Тем же способом можно найти связи между корнями ,
,
... , ,
для уравнения n-й степени
.
Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;
.
Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при ,
,
,
... , и сравниваем свободный член.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.
Практически любое квадратное уравнение \можно преобразовать к виду \ Однако это возможно, если изначально разделить каждое слагаемое на коэффициент \ перед \ Кроме того, можно ввести новое обозначение:
\[(\frac {b}{a})= p\] и \[(\frac {c}{a}) = q\]
Благодаря чему будем иметь уравнение \ именуемое в математике приведенным квадратным уравнением. Корни данного уравнения и коэффициенты \ взаимосвязаны между собой, что подтверждено теоремой Виета.
Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения \ равна второму коэффициенту \ взятому с противоположным знаком, а произведение корней - свободному члену \
Для наглядности решим уравнение следующего вида:
Решим данное квадратное уравнение с помощью выписанных правил. Проанализировав исходные данные, можно сделать вывод, что уравнение будет иметь два различных корня, поскольку:
Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Под это условие попадают числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак "минус". Таким образом, получим корни уравнения \
Ответ: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений, следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета (по программе А.Г. Мордковича Алгебра-8, на изучение темы “Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители” запланировано только два часа).
В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета, и предлагается ряд примеров для отработки этой темы.
Возьмем конкретные примеры и проследим на них логику решения с помощью теоремы Виета.
Пример 1. Решить уравнение .
Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и . Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства
Обратим внимание, что произведение корней –
положительное число. А значит, корни уравнения
одного знака. А так как сумма корней также
является положительным числом, делаем вывод, что
оба корня уравнения – положительные. Вернемся
снова к произведению корней. Допустим, что корни
уравнения – целые положительные числа. Тогда
получить верное первое равенство можно только
двумя способами (с точностью до порядка
множителей):
или . Проверим
для предложенных пар чисел выполнимость второго
утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3
удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и
являются корнями заданного уравнения.
Ответ: 2; 3.
Выделим основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:
записать утверждение теоремы Виета | (*) |
Приведем еще примеры.
Пример 2. Решите уравнение .
Решение.
Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – положительное, а сумма – отрицательное число. Значит, оба корня – отрицательные числа. Подбираем пары множителей, дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются корнями данного уравнения.
Ответ: -2; -5.
Пример 3. Решите уравнение .
Решение.
Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.
Ответ: 2; -5.
Заметим, что теорему Виета в принципе можно
сформулировать и для полного квадратного
уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются
равенства , .
Однако
применение этой теоремы довольно проблематично,
так как в полном квадратном уравнении по крайней
мере один из корней (при их наличии, конечно)
является дробным числом. А работать с подбором
дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.
Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе
части уравнения на первый коэффициент а
и
запишем уравнение в виде
. Введем новую переменную и получим
приведенное квадратное уравнение , корни которого и (при их наличии) могут быть
найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного
уравнения будут . Обратим внимание, что составить
вспомогательное приведенное уравнение очень просто:
второй коэффициент сохраняется, а третий
коэффициент равен произведению ас
. При
определенном навыке учащиеся сразу составляют
вспомогательное уравнение, находят его корни по
теореме Виета и указывают корни заданного
полного уравнения. Приведем примеры.
Пример 4. Решите уравнение .
Составим вспомогательное уравнение и по теореме
Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения
.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение .
Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме
Виета его корни . Находим корни исходного уравнения .
Ответ: .
И еще один случай, когда применение теоремы
Виета позволяет устно найти корни полного
квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число
1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда
. Второй
корень уравнения находится по теореме Виета и
равен . Еще
одно утверждение: чтобы число –1 являлось
корнем уравнения
необходимо и достаточно, чтобы
. Тогда второй
корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные
утверждения можно сформулировать и для
приведенного квадратного уравнения.
Пример 6. Решите уравнение .
Заметим, что сумма коэффициентов уравнения
равна нулю. Значит, корни уравнения .
Ответ: .
Пример 7. Решите уравнение .
Для коэффициентов этого уравнения выполняется
свойство
(действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни
уравнения .
Ответ: ..
Примеры на применение теоремы Виета
Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.
1. ![]()
6. ![]()
11. 16. ![]()
2. 7. ![]()
12. 17. ![]()
3. ![]()
8. ![]()
13. ![]()
18. ![]()
4. ![]()
9. ![]()
14. ![]()
19. ![]()
5. ![]()
10. ![]()
15. ![]()
20. ![]()
Задание 2. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.
1. ![]()
6. ![]()
11. ![]()
16. ![]()
2. ![]()
7. ![]()
12. ![]()
17. ![]()
3. ![]()
8. ![]()
13. ![]()
18. ![]()
4. ![]()
9. ![]()
14. ![]()
19. ![]()
5. ![]()
10. ![]()
15. ![]()
20. ![]()
Задание 3. Решите квадратное уравнение с помощью свойства .